Simulation mit einer Tabellenkalkulation
Wenn Sie noch nie mit einer Tabellenkalkulation naturwissenschaftliche Vorgänge simuliert haben, dann sollten Sie vielleicht zunächst die beiden Workshops zum exponentiellen Wachstum und zum logistischen Wachstum durcharbeiten.
Screenshot des fertigen Numbers-Arbeitsblattes
Vorbereitung
In die Zeile 1 tragen wir zunächst die Überschriften der vier Spalten ein:
- A1: Beute (gemeint ist die Anzahl der Beute-Tiere)
- B1: Räuber (Anzahl der Räuber-Tiere)
- C1: dB/dt (Zunahme der Beute in einem Zyklus)
- D1: dR/dt (Zunahme der Räuber in einem Zyklus)
In die beiden ersten Spalten der Zeile 2 tragen wir dann die Anfangswerte der Beute (100) bzw. Räuber (10) ein.
Irgendwo am rechten Rand des Blattes, da wo noch Platz ist, müssen wir fünf Zellen für die Konstanten reservieren, und zwar für
- gB (Geburtenrate der Beute)
- sB (Sterberate der Beute ohne Anwesenheit der Räuber)
- sR (Sterberate der Räuber)
- WW R->B (Wechselwirkungsrate 1)
- WW B->R (Wechselwirkungsrate 2)
Als Konstanten für diese fünf Zellen haben sich bewährt
- 0,0100
- 0,0020
- 0,0080
- 500
- 5000
Natürlich können Sie später auch andere Werte einsetzen, Sie können damit herumexperimentieren, wie Sie wollen.
Die Formeln
Die Formel für die Beute
Kommen wir jetzt zum wichtigsten und kompliziertesten Teil der Arbeit, die Formeln. In der dritten Spalte soll dargestellt werden, wie stark die Beute in jedem Zyklus zunimmt. Dazu benötigen wir die dazugehörige Differentialgleichung.
Die beiden gekoppelten Differentialgleichungen
Betrachten wir zunächst die obere der beiden Gleichungen. Die zeitliche Zunahme der Beute berechnet sich aus der Wachstumsrate der Beute wB multipliziert mit der aktuellen Anzahl B der Beutetiere. Wenn wir dB/dt für die erste Zeile (Zelle C2) berechnen wollen, benötigen wir also den Wert aus der Zelle A2, in dem ja die Zahl der Beutetiere steht. Außerdem brauchen wir den Wert für die Wachstumsrate. Diesen Wert berechnen wir aus der Geburtenrate der Beute und der Sterberate der Beute. In unserer Beispieltabelle stehen diese Werte in den Zellen E30 und E31. In die Zelle C2 schreiben wir also Formel also:
=A2 * (E$30 - E$31)
Die Dollar-Zeichen sind notwendig, damit die Werte immer aus den Zeilen 30 bzw. 31 entnommen werden und nicht aus den darunter liegenden Zeilen.
Aber wir sind ja noch nicht fertig mit der Formel. Den Einfluss der Räuber haben wir ganz vergessen. Den Wert der Konstante k1 entnehmen wir der Zelle E33, dort wird er als Wechselwirkungsfaktor WW R->B bezeichnet. Den Wert der Räuber lesen wir aus Zelle B2 aus, und den Wert der Beute wieder aus Zelle A2. Also ergänzen wir die Formel folgendermaßen:
= A2 * (E$30 - E$31) - E$33 * B2 * A2
Und so wird die Formel von der Tabellenkalkulation Numbers (Apple) dargestellt:
Die Formel, in Numbers umgesetzt
Die Reihenfolge der Zahlen ist hier etwas anders als oben angegeben, aber die Berechnungsformel ist die gleiche. Natürlich hätte man A2 jetzt ausklammern können, aber damit wollen wir uns nicht aufhalten.
Die Formel für die Räuber
Hier gehen wir ähnlich vor. Dazu betrachten wir die untere Differentialgleichung in Abbildung 2. Die Konstante k2 entspricht dem Wechselwirkungsfaktor WW B->R in Zelle E34, und die Sterberate der Räuber steht in Zelle E32. Damit ergibt sich folgende Formel:
= (E$34 * B2 - E$32) * A2
Wie stellt sich diese Formel in Numbers dar?
Die Formel für die Räuber in Numbers